Парфюмерная мастерская.

Я делаю добро из зла, потому что его больше не из чего сделать.

Previous Entry Share Next Entry
Проблема Христиана Гольдбаха
Парфюмер за работой
nostradamvs
Однажды я посмотрел некий испанский фильм, в котором сюжет вращался вокруг безуспешных попыток доказать теорему Гольдбаха. Точнее - решить проблему Гольдбаха. Это было давно, в начала 2008 года. Тогда же я об этом и написал. А теперь подумал, что и для моих читателей эта занимательная штука может быть интересна. В общем, суть в следующем: в 1742 году немецкий математик Христиан Гольдбах в письме к своему другу и коллеге Леонарду Эйлеру высказал одно очень простое утверждение. «Всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел», - написал Гольдбах. Эйлер заметил в ответном письме, что проблема сводится к доказательству того, что каждое чётное число есть сумма двух простых. Эта проблема получила название «Проблемы Гольдбаха», и её доказательство до сих пор не найдено.



Проблемка-с.

А ведь правда: какое бы чётное число мы не брали, его можно выразить суммой двух простых. Например: 24=13+11. Или 100=83+17. Или 7112=5119+1993. Можно взять сколь угодно большое число, и гипотеза окажется верна. Проблема состоит именно в том, чтобы найти общее математическое доказательство утверждения Гольдбаха. Простое число — это число, которое делится только на 1 и само на себя. Так, 2, 3, 5, 7 – простые числа, а 4, 6, 9 – нет. Чем больше чётное число, тем больше способов представить его в виде двух простых:





Сама проблема Гольдбаха условно делится на два утверждения. Первое, высказанное непосредственно Христианом Гольбахом, называется «слабой проблемой», а уточнение Эйлера – «сильной проблемой» Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой.
К проблеме Гольдбаха в первую очередь подходят «в лоб». То есть последовательно проверяют её правильность для каждого следующего простого числа. Таким образом на сегодняшний день проверены все чётные числа до 3*1018, и проверка продолжается. Но у подобного метода есть существенный недостаток. Таким способом можно опровергнуть гипотезу, будь она неверна. Но так нельзя доказать теорему, так как нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила.

Долгое время не удавалось найти вообще никаких путей к исследованию проблемы Гольдбаха. Лишь в 1923-м году английским математикам Готфри Харди и Джону Литлвуду удалось доказать, что если верны некоторые теоремы (не доказанные и сейчас) относительно так называемых L-pядов Дирихле, то всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел. Харди:



В 1930-м году математик Лев Шнирельман опубликовал доказательство теоремы о том, что целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел, причём это число не превышает 300000. Это было серьёзным шагом вперёд. Но ограниченное число не есть указанное в гипотезе число 2. Поэтому доказательство Шнирельмана стало лишь частным решением проблемы. Опубликовано оно было лишь в 1939-м году, через год после трагической смерти математика (он покончил с собой). Тем не менее, результат Шнирельмана многократно уточнялся; последнее уточнение сделал в 1995 году французский математик Рамарэ: он показал, что любое чётное число – сумма не более 6 простых чисел. Шнирельман:



Наиболее серьёзный шаг вперёд в решении проблемы Гольдбаха сделал в 1937-м году советский математик Иван Виноградов. Он доказал, что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, то есть по существу решил проблему Гольдбаха для нечётных чисел. Правда, «достаточно большое число» в формулировке Виноградова составляет 3,33*1043000, что на сегодняшний день практически неприменимо в прикладной математике. Помимо того, он представил доказательство частного случая гипотезы Гольдбаха для некоторых ограниченных групп чётных чисел, а также показал: существует такое конечное n, что любое четное число может быть представлено в виде суммы не более чем n простых слагаемых. В 1975 году его доказательство развили Хьюго Монтгомери и Роберт Воган. Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN1-C. Виноградов:



Заметный шаг к доказательству проблемы Гольдбаха сделал в 1966 году китайский математик Чэнь Цзинжунь. Он доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (т.е. имеющего только 2 делителя, не считая 1 и самого себя).
В 1997 году была доказана справедливость слабой проблемы Гольдбаха для ещё одного частного случая: чисел свыше 1020. Сильная проблема Гольдбаха остаётся пока что каменной стеной для исследователей.
Но все эти шаги – лишь ступени к решению общей проблемы.

В интернете можно найти множество «доказательств» сильной гипотезы Гольдбаха. Но обыкновенно подобные доказательства имеют ошибки, либо вообще не являются доказательствами. Вполне вероятно, эта гипотеза попросту недоказуема, а наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это утверждение связано, в частности с тем, что так называемого «закона простых чисел» также не существует. Открытие каждого нового простого числа происходит исключительно методом «перебора», и в последнее время из-за огромных числовых «расстояний» между каждым новым простым числом и следующим за ним, подобные открытия происходят крайне редко и являются значительными математическими достижениями. С другой стороны, многие чётные числа можно представить с помощью нескольких пар простых, то есть существует несколько комбинаций. Если построить график зависимости количества комбинаций пар простых чисел от увеличения чётных составных чисел, выяснится, что с увеличением чётного числа наблюдается тенденция к увеличению количества пар простых чисел, дающих в сумме данное число, причём это увеличение происходит по определённому закону. Этот факт не позволяет математикам бросить поиски доказательства. А Эйлер хитро смотрит со старинной картины:



Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кёнигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби. В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. С Эйлером он вёл дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьёй Бернулли. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них – о бесконечных рядах – сделали его достаточно известным в научных кругах.
Впрочем, в широких кругах Христиан Гольдбах стал известен благодаря нескольким фразам в одном-единственном письме к своему другу. Такие вот игры судьбы.

Теорема Ферма.
Стоит отметить, что самые простые математические утверждения чаще всего бывает крайне сложно доказать. Например, Великая теорема Ферма (или, как её называют, «последняя») была доказана лишь спустя несколько сот лет после того, как была сформулирована. Теорема говорит, что уравнение an+bn=cn для любого натурального n>2 не имеет натуральных решений a, b и c. Теорема была сформулирована в 1637 году и по легенде записана на полях «Арифметики» Диофанта. Вероятнее всего, доказательства у Ферма не было вовсе, так как за последующие 30 лет жизни он его так и не опубликовал. Частные случаи для n=3, 5, 7 и некоторых ограниченных групп чисел публиковали в разные годы Дирихле, Ламе, Куммер и другие математики, но окончательно теорему Ферма доказал лишь в 1995-м году англо-американский математик сэр Эндрю Джон Уайлс. Над доказательством он работал с 1986-го года и заняло оно более 130 страниц.

Полную переписку Гольдбаха и Эйлера можно скачать и прочесть вот тут: http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/correspondents/Goldbach.html

Полный список историй можно посмотреть в оглавлении моего Живого Журнала.

  • 1
второй график потрясающ. при том, что в закономерности простых чисел сложно поверить, производит удивительное впечатление...цифры смеются над нами =))))

an+bn=cn - а разве не в степени n&

Ужас, у меня все степени "убежали". Поправил всё.

А хоть какая-нибудь прктическая польза от всех этих доказательств есть?

Примерно такая же, как от литературы, музыки и живописи. Доказали, показали миру - вроде как произведение закончили, заинтересованные (математики) поинтересовались, порадовались и вручили гению медаль Филдса.

То есть номинально нет пользы, причём от всей высшей математики в целом. Но с другой стороны, математика - это язык, на котором говорят физики. А от физики уже есть польза.

есть. На этих теоремах иногда всплывают всякие другие штуки. Например, половина современной криптографии сегодня стоит на одной похожей теореме, которая выглядит так же безумно и оторванно от всего.

Т.е. сегодня огромную часть нашей жизни заняли компьютеры, а в них криптография. А криптография — наука о том, как запутать числами так, что бы нельзя было догадаться. Вот тут то как раз и пригождаются всякие странные теоремы вокруг свойств самих чисел.

надо же, почерк прям как у меня )))

Шеф одному из соискателей на собеседовании дал доказать теорему Ферма. Тот сильно задумался и собеседование не прошел, насколько я знаю)))

Ну, это был, как я понимаю, типа тест на эрудицию. Надо знать хотя бы, что за теорема, и кто её доказал.

А ведь на простых числах в том числе стоит такая важная штука, как криптография. Как бы она от некоторых открытий чудных не зашаталась.

А что за фильм?

"Гибель меркурия". Там история развивается вокруг маленького мальчика страдающего аутизмом, который оказался способен читать сверхсекретный шифр.

Что-то нигде не обнаружил такого фидьма. Не подскажете, можно ли его откуда-нибудь скачать?

"Восход Меркурия" он называется, с Брюсом Уиллисом.

Таки, меня опередили)))

Друзья, как вы считаете? Может сильная гипотеза на самом деле не самая сильная? Более сильная должна звучать таким образом, чтобы не просто говорить о возможности представления четного числа в виде суммы, а проговаривать эту зависимость какой либо формулой, ведь именно о существовании некой зависимости нам говорит красный глафик, смотреть без мурашек на спине на него не могу ((

Простите, но, кажется, вы не поняли, что изображено на красном графике :)

Ничего страшного. На графике по оси X у нас идут четные числа те самые котрые мы раскладываем на суммы двух простых чисел. По оси Y идут количеста возможных вариантов этих самых разложений. Так я понял или нет?


Да. Но это не имеет отношения к силе или слабости проблемы Гольдбаха (да и вообще к ней напрямую). Это скорее график, иллюстрирующий принципы математической статистики.

Edited at 2013-03-17 04:20 am (UTC)

Смотри друг.
Есть такое утверждение, извини что своими словами - любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел, и это сильная гипотеза, так?
Но она как бы просто говорит что можно представить, то есть можно представить как минимум 1 способом, верно? А я же предлагаю так : любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел {тут идет некая формула или закон} раз. Теперь ты меня понял?! Этот график выглядит так как будто он живет по своим законам, он не принципы нам демонстрирует, а тот что есть зафисимость но вы ребята нифига не знаете формулу...

Ха-ха. Прежде чем формулировать проблему так, надо доказать хотя бы сильную. Это примерно как пытаться построить автомобиль, не изобретя колесо.

А кто сказала что НАДО ? ) Сама формулировка текущей сильной на мой взгляд никак не поможет доказать саму зависимость) Лишняя работа?

Есть неплохая повесть про, скажем так, психологию науки - "Дядя Петрос и проблема Гольдбаха".

  • 1
?

Log in